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Sexta-feira, 29/5/2015
Todo mundo em um grão de areia:
Cláudia Aparecida Franco de Oliveira

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Geometria surpreendente de John Nash

A matemática de uma mente bonita. DANIEL Mathews, Monash University28 MAY 2015 Facebook Ícone14.kTwitter Ícone103Email Icon

Este artigo foi escrito por Daniel Mathews da Universidade de Monash, na Austrália. O artigo foi originalmente publicado por A Conversação .

Como tem sido amplamente divulgado, John Forbes Nash Jr morreu tragicamente em um acidente de carro em 23 de maio deste ano. Muitas homenagens foram pagos a este grande matemático, que ficou famoso por biografia de Sylvia Nasar Uma Mente Brilhante ea subsequente filme baseado em esse livro.

Muito tem sido dito sobre o trabalho de Nash sobre a teoria dos jogos . Mas pouco foi dito sobre outras realizações matemáticas de Nash. Muitos matemáticos que entendem o trabalho de Nash iria concordar, eu acho, que, apesar de seu trabalho na teoria dos jogos teve o maior impacto sobre outros campos, Nash fez outras descobertas que foram ainda mais impressionantes.

Além de teoria dos jogos, Nash trabalhou em campos tão diversos como a geometria algébrica , topologia , equações diferenciais parciais e criptografia .

Mas talvez os resultados mais espectaculares de Nash estavam na geometria . Para homenagear a vida de Nash, eu gostaria de tentar dar um sabor de algum deste trabalho.

John Nash e matemática pura

Uma grande parte do trabalho de Nash estava no campo da geometria. Mas este tipo de geometria - geometria diferencial - é muito diferente da geometria aprendida na escola. Não se trata de trigonometria ou Pitágoras, como encontrado nos livros didáticos de matemática secundário. Pelo contrário, trata-se de temas como superfícies, curvatura e suavidade.

Como todos os matemáticos puros, Nash provou teoremas: declarações lógicas que são rigorosa, precisa e absolutamente verdadeiro, sem tolerância para imprecisão. O mundo da matemática pura é austero e muitas vezes obscuro, mas as suas afirmações de verdade são eternos e absolutos.

Bem, essa é a teoria, pelo menos. Avanços na matemática pura são muitas vezes nos limites da compreensão humana. Leva tempo, mesmo para aqueles que no campo, para compreender plenamente os novos desenvolvimentos.

O trabalho de Nash era um caso extremo. Seus trabalhos podem ser apresentados de maneira caótica, difícil de seguir e suas abordagens para os problemas eram muitas vezes diferente de tudo que havia chegado antes dele, enganando estudantes e especialistas similares. Mas ele era quase sobrenatural em sua criatividade.

Enquanto argumentos matemáticos estão fortemente limitados pelas rigorosas exigências da lógica, construções e métodos de Nash eram selvagens. E em nenhum lugar isso foi mais do que em seu trabalho em geometria.
Geometria de Nash

Pegue uma folha de papel plana. Você pode dobrá-lo, mas sem rasgar ou vincar-lo, o que formas você pode fazer? Você não pode fazer uma esfera, ou até mesmo uma seção de uma esfera, porque uma esfera é curvo , enquanto o papel está plana .

Mas você pode fazer um cilindro. E até mesmo um cone, como você vai saber se você já viu um chapéu de burro. (Este fato também é útil para fazer cones de waffle, como mostrado abaixo.

Como se constata, apesar de um cilindro ou um cone parece curvo, é intrinsecamente plana . Em um curso de graduação em geometria diferencial (como a que eu ensinar na Monash), se estuda esta curvatura intrínseca, e verifica-se que existem muitas superfícies planas.

Essas idéias foram em torno de centenas de anos antes de Nash, mas Nash levou muito mais longe.

O problema incorporação

Nash pegou a idéia de 'incorporação' uma superfície: colocá-lo para o espaço sem rasgar, vincando ou cruzar-se. Uma incorporação, que não altere a geometria intrínseca da superfície é "isométrica". Em outras palavras, as superfícies de cima são mergulhos isométricos '' do plano para o espaço 3-dimensional.

A questão incorporação isométrica podem ser feitas não apenas para o avião, mas para qualquer superfície possível: esferas, donuts (que os matemáticos chamam tori para tentar soar respeitável) e muitos outros.

Como se constata, há superfícies que são tão fortemente curvado ou emaranhados até que eles não podem ser incorporados no espaço 3-dimensional em tudo. Na verdade, eles podem nem mesmo ser incorporado em espaço 4-dimensional.

Mas Nash mostrou que toda a superfície pode ser incorporado no espaço 17-dimensional. Dimensões extras, longe de tornar o problema ainda mais difícil, na verdade torná-lo mais fácil - dando-lhe mais espaço para incorporar sua superfície! Mais tarde, o trabalho de Nash foi melhorada por outros, e agora sabemos que qualquer superfície pode ser incorporado no espaço 5-dimensional.

No entanto, as superfícies são apenas duas dimensões. E Nash estava interessado em superfícies de qualquer dimensão possível. Estes análogos de dimensões mais elevadas de superfícies são conhecidos como "coletores".

Nash provou que você sempre pode incorporar um colector para o espaço de alguma dimensão, sem distorcer sua geometria. Com este resultado importante, ele resolveu o problema incorporação isométrica.

Prova do problema incorporação isométrica de Nash veio como uma completa surpresa para grande parte da comunidade matemática. Seus métodos eram revolucionários. O grande matemático Mikhail Gromov , disse que o trabalho de Nash sobre o problema incorporando o golpeou para ser "tão convincente como levantar-se pelos cabelos". Mas, depois de muito esforço, Gromov finalmente entendeu prova de Nash: no final de uma longa argumentação de Nash, disse Gromov, Nash "milagrosamente, fez levantá-lo no ar por o cabelo"!

Incorporação isométrica em ação

Gromov passou a desenvolver as suas próprias ideias, inspiradas pelo trabalho de Nash. Ele escreveu um livro - semelhante entre os matemáticos de renome para a sua incompreensibilidade, assim como o trabalho de Nash - na qual ele desenvolveu um método chamado "integração convexo.

O método de Gromov teve várias vantagens. Uma delas é que é mais fácil tirar fotos de um mergulho fez com o seu método de integração convexa. Antes de Gromov, sabíamos mergulhos isométricos existiu, e tinha propriedades maravilhosas, mas teve um momento muito difícil tentar visualizá-los, até porque eles foram muitas vezes em dimensões superiores.

Em 2012, uma equipe de matemáticos franceses produzidos computação gráfica de mergulhos isométricos utilizando métodos de integração convexas de Gromov. Eles são extremamente intrincada, quase fractal-like, mas suave. Alguns são mostrados abaixo.

O mundo em um grão de areia

O trabalho de Nash sobre o problema incorporação isométrica tem muitas facetas e levou a enormes quantidades de pesquisas posteriores.

Um aspecto particularmente surpreendente é como mergulhos isométricos são construídos. O trabalho de Nash, combinado com o trabalho subsequente por Nicolaas Kuiper , mostrou que se você quisesse isometrically incorporar uma superfície no espaço 3-dimensional, é o suficiente para ser capaz de reduzi-lo.

Se você tem um 'encolhido' a incorporação de sua superfície - isto é, com todos os comprimentos diminuiu - em seguida, Nash e Kuiper mostrar como você pode obter uma incorporação isométrica de sua superfície de apenas ajustando sua versão encolhida um pouco.

Isso soa ridículo. Por exemplo, dê uma esfera - dizem que a superfície de uma bola de tênis - e imaginar encolhê-lo para baixo para ter um raio nanômetros. Nash e Kuiper mostram que por 'arrepiando' a superfície suficientemente (mas sempre sem problemas, sem vincar ou dobrar ou rasgar ou rasgar permitido!) Você pode ter uma cópia isométrica de sua bola de tênis original, todos contidos dentro deste raio nanômetros. Este tipo de 'arrepiando' da superfície foi reproduzido na equipe francesa computação gráfica.

A equipe francesa considerou tomar um pedaço quadrado de papel plana. Cole o lado superior para o lado inferior, para obter um cilindro. Agora cola do lado esquerdo para o lado direito. Se você pensar sobre isso, você pode ser capaz de ver que você obtenha um donut. Mas você vai encontrar o papel está agora dobrado ou distorcido.

Você pode colocá-la no espaço 3-dimensional sem distorção? Nash e Kuiper dizer "sim". Gromov diz que "usar a integração convexo". E os matemáticos franceses dizer "isto é o que parece"!

Mais fotos estão disponíveis no Projeto de website .

Mas o teorema matemático não se aplica apenas a bolas de tênis ou anéis de espuma: o teorema vale para qualquer colector de qualquer dimensão. Qualquer mundo pode estar contido em um grão de areia.
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Como ele fez isso?

Nash tinha uma rara combinação de gênio e trabalho duro. Em sua biografia de Nash, Sylvia Nasar detalha sua intensidade e esforço formidável passou a trabalhar no problema.

Como é bem conhecido do filme, Nash passou a acreditar em teorias da conspiração bizarras envolvendo alienígenas e seres sobrenaturais, como resultado de sua esquizofrenia. Quando perguntado por que ele mais tarde, um cientista extremamente inteligente, podia acreditar em tais coisas, ele disse que essas idéias "veio a mim da mesma maneira que as minhas ideias matemáticas fez. Então, eu levei a sério ".

E, francamente, se minha cabeça me disse idéias como precisos e como perspicazes como aqueles necessários para provar o teorema incorporação isométrica, eu provavelmente confiar em estrangeiros e do sobrenatural também.

Daniel Mathews é professor de matemática na Universidade de Monash .

Este artigo foi originalmente publicado por A Conversação . Leia o artigo original .

Postado por Cláudia Aparecida Franco de Oliveira
Em 29/5/2015 às 07h38