Pi, o [fi]lme, e o infinito no alfa | Rafael Lima | Digestivo Cultural

busca | avançada
29791 visitas/dia
1,1 milhão/mês
Mais Recentes
>>> Banda GELPI, vencedora do concurso EDP LIVE BANDS BRASIL, lança seu primeiro álbum com a Sony
>>> Celso Sabadin e Francisco Ucha lançam livro sobre a vida de Moracy do Val amanhã na Livraria da Vila
>>> No Dia dos Pais, boa comida, lugar bacana e MPB requintada são as opções para acertar no presente
>>> Livro destaca a utilização da robótica nas salas de aula
>>> São Paulo recebe o lançamento do livro Bluebell
* clique para encaminhar
Mais Recentes
>>> O reinado estético: Luís XV e Madame de Pompadour
>>> 7 de Setembro
>>> Outros cantos, de Maria Valéria Rezende
>>> Notas confessionais de um angustiado (VII)
>>> Eu não entendo nada de alta gastronomia - Parte 1
>>> Treliças bem trançadas
>>> Meu Telefunken
>>> Dor e Glória, de Pedro Almodóvar
>>> Leminski, estações da poesia, por R. G. Lopes
>>> Crônica em sustenido
Colunistas
Últimos Posts
>>> Não Aguento Mais a Empiricus
>>> Nubank na Hotmart
>>> O recente choque do petróleo
>>> Armínio comenta Paulo Guedes
>>> Jesus não era cristão
>>> Analisando o Amazon Prime
>>> Amazon Prime no Brasil
>>> Censura na Bienal do Rio 2019
>>> Tocalivros
>>> Livro Alma Brasileira
Últimos Posts
>>> O céu sem o azul
>>> Ofendículos
>>> Grito primal V
>>> Grito primal IV
>>> Inequações de um travesseiro
>>> Caroço
>>> Serial Killer
>>> O jardim e as flores
>>> Agradecer antes, para pedir depois
>>> Esse é o meu vovô
Blogueiros
Mais Recentes
>>> O Salão e a Selva
>>> Ed Catmull por Jason Calacanis
>>> Por que a Geração Y vai mal no ENEM?
>>> Por que a Geração Y vai mal no ENEM?
>>> A massa e os especialistas juntos no mesmo patamar
>>> Entrevista com Jacques Fux, escritor e acadêmico
>>> Nuno Ramos, poesia... pois é
>>> Literatura e interatividade: os ciberpoemas
>>> O Valhalla em São Paulo
>>> Por dentro do Joost: o suco da internet com a TV
Mais Recentes
>>> Direito Romano - Vol. II de José Carlos Moreira Alves pela Forense (2003)
>>> Divinas Desventuras: Outras Histórias da Mitologia Grega de Heloisa Prieto pela Companhia das Letrinhas (2011)
>>> Le Nouveau Sans Frontières 1 - Méthode de Français de Philippe Dominique e Jacky Girardet e Michele Verdelhan e Michel Verdelhan pela Clé International (1988)
>>> Sobrevivência de Gordon Korman pela Arx Jovem (2001)
>>> Ética Geral e Profissional de José Renato Nalini pela Revista dos Tribunais (2001)
>>> Mas Não se Mata Cavalos ? de Horace McCoy pela Abril (1982)
>>> O Menino no Espelho de Fernando Sabino pela Record (2016)
>>> Labirintos do Incesto: O Relato de uma Sobrevivente de Fabiana Peereira de Andrade pela Escrituras-Lacri (2004)
>>> Mas Não se Mata Cavalos ? de Horace McCoy pela Círculo do Livro (1975)
>>> Ponte para Terabítia de Katherine Patersin pela Salamandra (2006)
>>> O Desafio da Nova Era de José M. Vegas pela Ave-Maria (1997)
>>> Casa sem Dono Encadernado de Heinrich Boll pela Círculo do Livro (1970)
>>> Trabalho a Serviço da Humanidade de Escola Internacional da Rosa Cruz Áurea pela Rosacruz (2000)
>>> Casa sem Dono Encadernado de Heinrich Boll pela Círculo do Livro (1976)
>>> Ensinando a Cuidar da Criança de Nébia Maria Almeida de Figueiredo (org.) pela Difusão (2004)
>>> Ensinando a Cuidar da Mulher, do Homem e do Recém-nascido de Nébia Maria Almeida de Figueiredo (org.) pela Difusão (2004)
>>> Luxúria Encadernado de Judith Krantz pela Círculo do Livro (1978)
>>> Fundamentos, Conceitos, Situações e Exercícios de Nébia Maria Almeida de Figueiredo (org.) pela Difusão (2004)
>>> Personality: How to Unleash your Hidden Strengths de Dr. Rob Yeung pela Pearson (2009)
>>> Um Mês Só de Domingos de John Updike pela Record (1975)
>>> Um Mês Só de Domingos Encadernado de John Updike pela Círculo do Livro (1980)
>>> Um Mês Só de Domingos Encadernado de John Updike pela Círculo do Livro (1980)
>>> Caravanas de James Michener pela Record (1976)
>>> A Terra Ainda é Jovem de J.M. Simmel pela Nova Fronteira (1981)
>>> A Terra Ainda é Jovem de J. M. Simmel pela Nova Fronteira (1981)
>>> Deus Protege os Que Amam de J.M. Simmel pela Nova Fronteira (1977)
>>> Um Ônibus do Tamanho do Mundo de J. M. Simmel pela Nova Fronteira (1976)
>>> Um Ônibus do Tamanho do Mundo de J. M. Simmel pela Nova Fronteira (1976)
>>> O Quarto das Senhoras de Jeanne Bourin pela Difel (1980)
>>> Beco sem Saída de John Wainwright pela José Olympio (1984)
>>> Casais Trocados de John Updike pela Abril (1982)
>>> O Hotel New Hampshire Encadernado de John Irving pela Círculo do Livro (1981)
>>> As Moças de Azul de Janet Dailey pela Record (1985)
>>> Amante Indócil Encadernado de Janet Dailey pela Círculo do Livro (1987)
>>> A Rebelde Apaixonada de Frank G. Slaughter pela Nova Cultural (1986)
>>> Escândalo de Médicos de Charles Knickerbocker pela Record (1970)
>>> A Turma do Meet de Annie Piagetti Muller pela Target Preview (2005)
>>> O Roteiro da Morte de Marc Avril pela Abril (1973)
>>> Luz de Esperança de Lloyd Douglas pela José Olympio (1956)
>>> Confissões de Duas Garotas de Aluguel de Linda Tracey e Julie Nelson pela Golfinho (1973)
>>> Propósitos do Acaso de Ronaldo Wrobel pela Nova Fronteira (1998)
>>> Olho Vermelho de Richard Aellen pela Record (1988)
>>> A Comédia da Paixão de Jerzy Kosinski pela Nova Fronteira (1983)
>>> Casa sem Dono Encadernado de Heinrich Böll pela Círculo do Livro (1976)
>>> Ventos sem Rumo de Belva Plain pela Record (1981)
>>> Ventos sem Rumo de Belva Plain pela Record (1981)
>>> O Caminho das Estrêlas de Christian Signol pela Círculo do Livro (1987)
>>> Longo Amanhecer de Joe Gores pela Best-seller (1988)
>>> As Damas do Crime de B. M. Gill pela Círculo do Livro (1986)
>>> Os Melhores Contos de Alexandre Herculano de Alexandre Herculano pela Círculo do Livro (1982)
COLUNAS

Terça-feira, 25/6/2002
Pi, o [fi]lme, e o infinito no alfa
Rafael Lima

+ de 13200 Acessos
+ 5 Comentário(s)

Pi -- cartaz oficial
Pi, primeiro filme de Darren Aronofsky (eita nome difícil!), é do tipo que precisa ser visto com igual atenção por apreciadores do cinema independente, nerds de computador e diletantes dos números. O roteiro é centrado em Max Cohen, que após quase ficar cego ao olhar para o sol aos seis anos de idade, emerge dessa experiência com um dom incomum para matemática. Apesar de aplicá-lo mais constantemente na solução de simples multiplicações para a garotinha que é sua vizinha, Max se dedica em empregar seu dom para identificar padrões matemáticos na natureza, a ponto de ter construído, dentro de casa, um super-computador, para auxiliá-lo em seus estudos. O personagem foi baseado nos irmãos David e Gregory Chudnovsky, que nos anos 90 projetaram e construíram, em seu apartamento neoiorquino, um computador com peças compradas pelo correio, com o qual pretendiam calcular o valor de pi com a maior precisão de dígitos possível.

Max Cohen Max dá a tônica de sua procura, e do próprio filme, quando diz que “a matemática é a linguagem da natureza”. Esse simples enunciado é suficiente para explicar tanto a invenção dos algarismos, polinômios, triângulos e integrais quanto a confusão de um aluno de primário com frações ou equações de segundo grau, insistentemente apresentadas em sala de aula como entidades abstratas autônomas, ao invés de representações da natureza, analogia simples e eficiente. Afinal, qualquer um capaz de compreender que uma parábola é tão somente a trajetória descrita por uma moeda quicando no chão não precisa mais gastar neurônios para lembrar uma fórmula indecifrável como ax2 + bx + c = d. No entanto, essas fórmulas têm a extraordinária qualidade de serem abrangentes; de descreverem, de modo genérico, a trajetória de qualquer parábola – e é nesse poder de síntese que reside sua beleza. Recentemente, essa busca por fórmulas que expliquem a natureza têm se tornado tema predileto do cinema, em filmes como Uma Mente Brilhante ou Gênio Indomável, ambos centrados na busca por teorias perfeitas de gênios da matemática.

a espiral dourada A busca de padrões matemáticos que tornassem qualquer acontecimento previsível, do ciclo das chuvas ao crescimento dos pés de milho, desde sempre foi uma busca humana, tanto pelas possibilidades de grandeza que abriam (como a construção de templos maiores) quanto pelas facilidades práticas que criavam para o dia a dia. Por exemplo, já os gregos conheciam e usavam a chamada razão dourada, conhecida pela letra fi, em homenagem ao escultor grego Fídias, que usou-a em suas obras. Fi, aproximadamente 1.618, é conhecido como razão dourada pela quantidade imensa de vezes em que se manifesta na natureza. A partir da construção de “retângulos dourados” – retângulos onde a razão da base pela altura é igual a 1.618 – onde a base do próximo retângulo é sempre igual, em comprimento, à altura do anterior, é possível desenhar uma espiral, conhecida como a “espiral dourada”, que aparece na natureza em caracóis, redemoinhos, chifres de bodes... No corpo humano, a razão dourada aparece entre o comprimento das falanges e das falangetas dos dedos da mão, e em várias proporções do rosto.

A máscara da beleza (Parêntesis: no Renascimento, Leonardo da Vinci voltou a utilizar extensivamente a “proporção divina”: um retângulo que envolva o rosto da Mona Lisa será um “retângulo dourado”, que, se for dividido na altura dos seus olhos, criará outro retângulo assim. Um de seus desenhos anatômicos mais famosos usa exatamente essa proporção entre a altura de um homem e sua altura até o umbigo. O mais intrigante é que, embora em qualquer pessoa as proporções anatômicas ao menos se aproximem de fi, toda vez que o valor encontrado é muito exato, a percepção tende a enxergar aquilo como... beleza. Uma modelo em uma propaganda de cosméticos apresentaria a razão dourada na relação entre várias medidas de seu rosto. No documentário A Face Humana, John Cleese e Liz Hurley apresentam um cirurgião plástico que percebeu o quanto essa relação se repete no rosto, a ponto de construir uma complexa máscara humana composta de triângulos, retângulos e hexágonos, baseados na razão dourada, que pode ser aplicada a qualquer rosto. O mais impressionante é como a máscara encaixa direitinho em qualquer rosto que se considere bonito, independente de raça, região ou tempo. Como os clientes de um cirurgião plástico querem ficar mais belos, seu método é, fundamentalmente, aplicar uma máscara proporcional à face do cliente, ver onde estão as principais divergências... e corrigi-las com o bisturi. Qualquer um pode sobrepor uma máscara à sua foto e ver o quanto o rosto se aproxima do conceito universal de beleza.)
A espiral dourada na natureza
No filme, a obsessão de Max Cohen com a razão dourada é expressa por closes em conchas marinhas, pelo desenho espiralado de creme derretendo na superfície de uma xícara de café, ou da fumaça de um cigarro se desfazendo no ar, ou mesmo em uma foto da própria galáxia, que também se assemelha a uma espiral. Para Max, “se fomos criados por uma espiral, e vivemos em espirais, tudo que podemos criar são espirais”. Curiosamente, em nenhum momento é mostrado o valor de fi, apenas há o gancho para uma seqüência de números que era uma série de Fibonacci, ou seja, uma série na qual cada elemento é sempre igual à soma dos dois anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...). A razão entre dois números consecutivos de Fibonacci é praticamente a razão dourada, com a precisão crescendo à medida que se usam valores maiores.

Se os irmãos Chudnovsky acabaram por bater o recorde do cálculo de dígitos de pi, tornando-se assunto de reportagem na New Yorker, Max Cohen também não passa despercebido em sua pesquisa. Uma empresa quer contratar seus serviços para escrever um programa capaz de prever o comportamento das cotações da bolsa de valores, já que a variação no preço das ações é usada pelo matemático como um teste de calibração de seu computador. À princípio, Max segue o estereótipo do cientista-recluso-anti-social-desapegado-dos-bens-materiais, mas que cede ao canto da sereia quando lhe oferecem por moeda de troca um chip super-poderoso. Claro que o chip é muito mais um artifício de roteiro do que uma possibilidade, assim como o computador que Max constrói parece saído da Guerra do Ferro Velho; a inspiração visual de Darren, pelo menos para as representações tecnológicas do filme, é confessadamente, a estética de Rod Serling nos episódios de Além da Imaginação - até mesmo na fotografia em preto e branco, uma constante em primeiros trabalhos de cineastas recém-formados (vide o premiado Um Sol Alaranjado, de Eduardo Valente).

Além dessa empresa, Max é contatado por judeus hassídicos que, estudando a relação entre letras e números no Talmud, pretendem chegar à revelação sagrada contida em um certo número de 216 dígitos. Aqui vai mais um escorregão do roteiro, que confunde numerologia com matemática ao achar que a associação de números com seus significados místicos, sagrados ou religiosos é campo de estudo da última, quando é da primeira. De qualquer maneira, o gancho religioso é uma sacada notável, senão pela contraposição material-espiritual, profano-sagrado, que cria em oposição imediata ao objetivo lucro da empresa do mercado de ações, ao menos por lembrar que, mais do que meramente indicarem quantidades, os números contém um aspecto simbólico, estudado na aritmologia de Pitágoras e presente em todas as religiões (40 dias de quaresma, o sétimo céu, os 3 mil prazeres...).

Pi = 3,1416... Ainda que acabe participando de rituais com os judeus hassídicos, ou que venha negociar o chip com os interessados em seus estudos, a única pessoa a quem Max dispensa real atenção a ponto de conversar, na película, é seu professor aposentado Sal, nas longas partidas do jogo chinês Go que disputam. Sal abandonara seus estudos sobre o pi desde que sofrera um ataque nervoso, retomado por Max como base de sua procura de um padrão matemático. Também conhecido desde os gregos, o pi, além ser a razão entre o comprimento de um círculo e seu diâmetro, constante em qualquer figura circular, é um número irracional, ou seja, é impossível representá-lo como uma fração, dado que a seqüência de algarismos que aparece depois da vírgula (3,141592653589...) é completamente aleatória, e não pode ser descrita por nenhum padrão. Sal tenta convencer Max de que a idéia de buscar uma lei matemática para fenômenos naturais pode acabar levando-o à loucura, e, ao invés de orientar sua pesquisa, fica advertindo-o para que não esqueça das outras coisas da vida não cobertas por sua pesquisa. Além de recomendá-lo a usar a intuição durante o jogo, ao invés de tentar deduzir o algoritmo das jogadas que conduzem à vitória, é particularmente divertido vê-lo afirmar que o ovo de Colombo do teorema de Arquimedes tinha sido, na verdade, a mulher do matemático, porque fora ela a responsável por mandar o sábio descansar um pouco e ir tomar um banho – o que, como, se sabe, acabou levando-o a enunciar o teorema...

Obcecado, Max não dá ouvidos a Sal e, quanto mais cai dentro do seu computador de fundo de quintal – bem, não dá para criticá-lo totalmente... Steve Wozniak também começou assim -, mais terríveis dores de cabeça se manifestam, dando vazão a delírios e paranóias, um prato cheio para o diretor exercitar todo seu talento de edição visual e sonora, perturbando os espectadores com microfonia, distorção e música eletrônica. São aquelas cenas manjadas em que o público nunca sabe exatamente se o que aparece na tela está acontecendo mesmo ou só na cabeça do personagem. A trama é habilmente conduzida, com direito até a cenas clássicas trash da tripa-por-metro, unindo os as 3 linhas paralelas – a pesquisa matemática, a perseguição religiosa e a pressão empresarial – até amarrá-los num coerente final que, como não poderia deixar de ser, permite várias interpretações. Ao invés de gastar pestana em uma, optarei por lembrar aqui que, se nenhum número sagrado de 216 dígitos foi descoberto ainda, já foi possível chegar a um número que contém tudo, todas as coisas criadas que possam ser simbolizadas e mapeadas por algarismos. Este número é o alfa, foi proposto por Champernowne e se escreve-se seqüenciando os números naturais, depois da vírgula: 0,012345678910111213141516..., sendo conhecido como constante de Champernowne. Assim como o pi, é preciso um computador para escrevê-lo com maior precisão. O alfa contém todas as seqüências de valores existentes, e portanto, descreve tudo que há no mundo. Atribua-se um valor a cada caractere de um teclado comum, segundo a tabela ASC II, e uma frase passa ser representada por uma seqüência de números. Do mesmo modo, qualquer livro pode passar a ser representado por uma grande seqüência de números, e esta seqüência estará incluída no alfa. Um quadro? Partindo-se do princípio que o olho humano é capaz de distinguir apenas 16 milhões de cores, e que não é capaz de perceber nada em resolução menor do que uma quadradinho de 0.05 milímetro quadrado, qualquer imagem pode dividida em uma malha de quadradinhos de 0.05 milímetro quadrado, e sua cor respectiva, indicada por um número código que representa uma das 16 milhões de cores. Assim, se o quadro for lido linha a linha horizontalmente, anotando-se a seqüência de cores como uma série de números, o resultado será uma imensa série de números que também está contida em uma expansão do alfa. O mesmo vale para qualquer seqüência de DNA. Qualquer átomo. Qualquer molécula.

O mais espantoso disso é que existe uma relação direta entre o alfa e o pi, algo como alfa = pi/26, e ambos os números estão ligados pela teoria da complexidade de Kolmogorov. Esta teoria introduz o conceito de que a complexidade de qualquer coisa pode ser medida pelo programa de computador que a produz; como o programa que escrevesse o alfa teria que continuar para sempre, o alfa tem complexidade “infinita”. É o universo inteiro em si mesmo. Talvez a matemática não seja suficiente para explicar, ou mesmo conceber, uma consciência superior, mas até aqui já foi capaz mapear toda a criação.

Reconhecimento
Um abraço ao meu amigo Ram, que me apresentou vários conceitos deste texto.


Rafael Lima
Rio de Janeiro, 25/6/2002


Quem leu este, também leu esse(s):
01. T.É.D.I.O. (com um T bem grande pra você) de Renato Alessandro dos Santos
02. Meu pé quebrado de Luís Fernando Amâncio
03. Por que o mundo existe?, de Jim Holt de Ricardo de Mattos
04. Modelos plus size: as novas mulheres irreais de Pati Rabelo
05. Batman: O Cavaleiro das Trevas Ressurge de Duanne Ribeiro


Mais Rafael Lima
Mais Acessadas de Rafael Lima em 2002
01. Coisas nossas - 23/4/2002
02. Pi, o [fi]lme, e o infinito no alfa - 25/6/2002
03. Ar do palco, ou o xadrez nos tempos da Guerra Fria - 16/4/2002
04. Quando éramos reis, bispos, cavalos... - 9/4/2002
05. Quebrar pratos com Afrodite - 14/5/2002


* esta seção é livre, não refletindo necessariamente a opinião do site

ENVIAR POR E-MAIL
E-mail:
Observações:
COMENTÁRIO(S) DOS LEITORES
25/6/2002
12h50min
Prezado Rafael: Seu texto sobre "Pi" de Aronofsky é uma excelente introdução para quem quer saber deste novo cineasta, um dos melhores da nova geração, ao lado de Paul Thomas Anderson e David Fincher. Para quem não sabe, Aronofsky também fez "Réquiem para um sonho", um dos filmes mais duros sobre o vício, ao lado de "O Homem do Braço de Ouro", de Otto Preminger e com Frank Sinatra.
[Leia outros Comentários de Martim Vasques ]
25/6/2002
17h10min
Então foi o Fídias quem descobriu o belo! Ou ao menos o racionalizou, né? Aproximar-se dos padrões da natureza, eis o critério. Parabéns pelo excelente texto, Rafael! Um abraço P.S. Achei que você fosse mencionar o Aleph do Borges quando se referiu ao alfa e achei que fosse mencionar a Biblioteca de Babel quando falou sobre constante de Champernowne. Você considera esses textos manjados demais?
[Leia outros Comentários de Rogério Prado]
26/6/2002
13h34min
Martim, não esqueça também do filme "Trainspotting", um belo retrato de sua época. Não gostei de "Réquiem..." e acho que Aronofsky ainda tem que mostrar ao que veio. Rogério, a beleza já existia antes de Fídias, ele só deduziu uma de suas formas matemáticas. Não posso considerar esses textos manjados demais porque não os li. Obrigado aos dois pelos comentários & elogios.
[Leia outros Comentários de Rafael Lima]
26/6/2002
13h52min
Ôpa, Rafael Sempre fui ruim em escrever num "estilo absurdo". E foi isso que tentei fazer escrevendo com espanto "Então foi Fídias quem descobriu o belo?". Senti-me, como resultado dessa inaptidão, um menino no jardim da infância recebendo uma lição óbvia demais para um adulto: "Rogério, a beleza já existia antes de Fídias". Mea culpa. E até o próximo texto. Abraço
[Leia outros Comentários de Rogério]
12/2/2003
5. Pi
14h55min
Essas mensagens são antigas, mas se ainda são lidas, eu queria de qualquer jeito ver Pi de novo mas não acho em lugar nenhum. Se alguém puder me ajudar. E sobre o filme, duas coisas que me marcaram... a máquina ao cuspir o padrão do Pi, derrete... deduz Max que ela toma consciência de sua existência... outra coisa é o fato do nº de 216 digitos nada significar, mas ao entender sua essência, Max tem um flash de percepção total. Tanto seu cerebro quanto o processador do computador não suportam a "carga". Além da caricatura dos executivos de wall street... È isso...Falou... garrafa jogada ao mar.
[Leia outros Comentários de Lucio Mazza]
COMENTE ESTE TEXTO
Nome:
E-mail:
Blog/Twitter:
* o Digestivo Cultural se reserva o direito de ignorar Comentários que se utilizem de linguagem chula, difamatória ou ilegal;

** mensagens com tamanho superior a 1000 toques, sem identificação ou postadas por e-mails inválidos serão igualmente descartadas;

*** tampouco serão admitidos os 10 tipos de Comentador de Forum.




Digestivo Cultural
Histórico
Quem faz

Conteúdo
Quer publicar no site?
Quer sugerir uma pauta?

Comercial
Quer anunciar no site?
Quer vender pelo site?

Newsletter | Disparo
* Twitter e Facebook
LIVROS




ATLAS DO CORPO HUMANO VOL. II 6232
DIVERSOS
ABRIL
(2008)
R$ 10,00



A CARÍCIA ESSENCIAL: UMA PSICOLOGIA DO AFETO
ROBERTO SHINYASHIKI
GENTE
(1992)
R$ 10,00



PARA TODOS OS GAROTOS QUE JÁ AMEI
JENNY HAN
INTRINSECA
(2015)
R$ 31,77



CLARISSA
ERICO VERISSIMO
GLOBO
(1997)
R$ 4,60



LANTERNA VERDE 48 - HAL JORDAN, VIDA APÓS A TROPA
EQUIPE DC
PANINI
(2016)
R$ 8,60



OS FATOS FICTICIOS POESIA
IZACYL GUIMARAES FERREIRA
LR
(1980)
R$ 6,00



1000 PERGUNTAS DE DIREITO ADMINISTRATIVO
REIS FRIEDE
FORENSE UNIVERSITÁRIA
(2005)
R$ 17,28



O PODER DOS ANIVERSÁRIOS- ESCORPIÃO
SAFFI CRAWFORD E GERALDINE SULLIVAN
PRETÍGIO
(2005)
R$ 25,90
+ frete grátis



DESENVOLVIMENTO ECONÓMICO ENDÓGENO DE PEQUENOS ESTADOS INSULARES
ALBERTINO FRANCISCO
NOVAS EDIÇÕES ACADÊMICAS
R$ 524,00



HISTÓRIA DO DEPARTAMENTO DE VOLUNTÁRIOS
HOSPITAL ALBERT EINSTEIN
NARRATIVA UM
(2004)
R$ 14,00





busca | avançada
29791 visitas/dia
1,1 milhão/mês